한걸음

1. 계수들이 상수항이 아닌 경우? 이런 상황에도 특성방정식(Auxiliary Eq. or Characteristic Eq.)의 해를 구해서 일반해(General Solution)를 구할 수 있는 식의 형태가 있다. 이러한 경우의 방정식을 Euler-Cauchy Equation이라고 한다. $$ x^2 y'' + ax y' + by = 0 $$ $ y = x^m $ 으로 지수함수 형태의 해를 갖는다고 가정하자. 그리고 $ y' = mx^{m-1} \ , \ y'' = m(m-1) x^{m-2} $ 를 대입하면, 다음과 같이 정리할 수 있다. $$ x^2 m (m - 1) x^{m -2} ax m x^{m - 1} + bx^{m} = 0 $$ 그리고 $ x^m $ 으로 묶어서 정리하면 특성방정식을 얻을 수..

Intro 아래와 같은 형태를 가질 때 2nd order ODE 는 선형이라고 한다. $$ y'' + p(x) y ' + q(x) y = r(x) $$ 이 때, $ r(x) = 0 $ 이면 Homogeneous라고 하고, 아닌 경우에는 non-homogeneous 라고 한다. 1. Superposition or linearity principle Homogeneous equation 의 기본 구조는 중첩의 원리 또는 선형성의 원리를 따른다. 따라서, $ y'' + p(x) y' + q(x) y = 0 $ 의 해는 다음과 같은 선형조합(Linear combination)을 따른다. $$ y = c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2} $$ Theorem 1. 열린구간 I 에서 "Homogeneous ..