한걸음

Problem 1 ~ 3 의 경우에는 전부 Basic Rule 을 이용하는 단순한 문제다. Problem 1. Find the solution. $$ y'' + 5 y ' + 4 y = 10 e^{-3x} $$ 1) Solution of homogeneous ODEs. Let's solve : $ y'' + 5 y ' + 4 y = 0 $ Substitute $ y = e^{\lambda x} $ into homogeneous ODEs, $$ ( \lambda^{2} + 5 \lambda + 4 ) e^{\lambda} = 0 $$ By the characteristic equation, D > 0 , The ODE has 2 real roots. $$ \therefore y_{h} = c_{1} e^{..

1. 계수들이 상수항이 아닌 경우? 이런 상황에도 특성방정식(Auxiliary Eq. or Characteristic Eq.)의 해를 구해서 일반해(General Solution)를 구할 수 있는 식의 형태가 있다. 이러한 경우의 방정식을 Euler-Cauchy Equation이라고 한다. $$ x^2 y'' + ax y' + by = 0 $$ $ y = x^m $ 으로 지수함수 형태의 해를 갖는다고 가정하자. 그리고 $ y' = mx^{m-1} \ , \ y'' = m(m-1) x^{m-2} $ 를 대입하면, 다음과 같이 정리할 수 있다. $$ x^2 m (m - 1) x^{m -2} ax m x^{m - 1} + bx^{m} = 0 $$ 그리고 $ x^m $ 으로 묶어서 정리하면 특성방정식을 얻을 수..

드디어 1.5절! 정리시작해봅시다. Intro. 아래와 같은 형태를 가질 때 First-order ODE는 선형(Linear)이라고 한다. $$ {y}' + p(x)y = r(x) $$ y의 차수가 1차 이기 때문에 해당 식을 선형이라고 부른다. y의 차수가 2차 이상이 되는 경우 비선형(NonLinear)이라고 한다. 이번 절에서는 Linear문제의 해를 구하는 것과, Nonlinear를 Linear로 바꾸어 해를 구하는 것을 공부한다. 1. Linear ODE 1.1 Homogeneous Linear ODE r(x)가 0 인 경우 선형미분방정식은 Homogeneous Linear ODE라고 한다. $$ {y}' + p(x)y = 0 $$ 변수분리법(Sperating Variables)을 활용하여 적분..

하루에 3문제 푸는 것은 크게 부담이 가지 않아서 좋다. 느리더라도, 정확하게 알고 넘어가자. 더 이상은 모래 위에 성을 쌓지 않을 것이다. Review 이제 외워지는 것 같다. 안보고도 바로바로 식이 써진다. Nonhomogeneous 1st order ODE 의 식 형태는 다음과 같다. $$ y' + p(x)y = r(x) $$ 적분인자를 구하고, 전개하면 다음과 같은 식이 나온다. 이 때, $ h = \int {p(x) dx} $ 이다. $$ y(x) = e^{-h}(\int{e^{h} r(x) dx} + C) $$ Problem 11. $$ y' = (y - 2) cotx \ , \ cotx = \frac{1}{tanx} $$ $$ y' - y cotx = - 2 cotx $$ 한편, $ h = ..

하루에 세 문제씩 풀고 있다. 이제는 적분인자 구하는 과정 및 최종 결과식이 자연스레 외워진다. Review : For Nonhomogeneous ODE, for instance, $ y' + p(x) y = r(x) $ $$ y(x) = e^{-h} (\int{e^h r(x) dx} + C) \ , \ h = \int{p(x) dx} $$ Problem 8. $$ y' + y tanx = e^{-0.01x} cos x $$ $$ p(x) \equiv tanx \ , \ r(x) \equiv e^{-0.01x} cos x $$ $ h = \int {tanx dx} = ln(secx) $ 이므로, $$ y = e^{-ln(secx)} ( \int {e^{ln(secx) e ^{-0.01x} cos x dx..

Problem 5. $$ y' + ky = e^{-kx} $$ Let's say, $ p \equiv k , r(x) \equiv e^{-kx} $ $ h = \int{k dx} = - kx $ 이다. Substitute equation h in $ y(x) = e^{-h} (\int{e^h r dx} + C) $ $$ y = e^{ -kx } ( \int{e^{kx} e^{-kx} dx} + C ) $$ $$ y(x) = e^{-kx}(x + C) $$ $$ \therefore y = ce^{-kx} + xe^{-kx} $$ Problem 6. $$ y' + 2y = 4 cos 2x , y(\frac{1}{4}\pi) = 3 $$ Let's say, $ p \equiv 2 , r(x) \equiv 4c..

변수가 두개인, Constant 값을 갖는 함수의 미분은 0이다. 이 함수는 다음과 같은 형태로 표현된다. 이 형태는 다음과 같이 쓸 수 있다. M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0 이 형태를 책에서는 "Exact differential equation" 혹은 "differential form is exact"라고 한다. ※ 한글로는 완전미분방정식이라고 표현하는데, 영어 표현에 익숙해지도록 하자. ※ 한글로 번역했을때 쉽게 받아들여지지 않는 경우가 많기 때문이다. 이 때, M과 N을 각각 y와 x에 대해서 편미분 했을때 동일한 값을 갖는다면 해당 함수는 "Exact" 하다고 하여 적분과정이 단순해진다. Exactness 를 검사하는 방법은 다음과 같이 편미분을 실시하여 다음 조건이 성립 하는지 확..

1.1 Basic Concepts. Modeling Keywords. Definition : “An ordinary differential equation (ODE) is an equation that contains one or several derivatives of an unknown function.” Caution from def. of PDE : 미지의 함수에 대해서 변수에 대한 언급이 명확하게 명시되어있음. 수학의 기본은 정의를 정확하게 아는 것으로부터 출발한다는 것을 명심하자. Also, “Such a solution containing an arbitrary constant c is called a ‘general solution’.” If, we select a specific case..