한걸음

타자 치는데 시간이 많이 소요된다. 이미지로 업로드 Problem 13 Problem 14 Problem 15

문제 풀다 보니, 너무 지저분해서 캡처해서 업로드... Problem 10 Problem 11 Problem 12

Problem 7 ~ 9는 미분 연산자로 표현이 되어있다. 평소대로 읽어서 풀면 된다. 이런 표현은 자주 나오는데, 특히 공기역학 공부시 실체적 도함수(Substantial Derivatives)는 유용하니 익숙해지면 편하다. Problem 7. Find the solution $$ y'' + 2 y' + \frac {3}{4} y = 3 e^{x} + \frac {9}{2} x $$ 1) Solution of homogeneous ODE Let's solve the equation when right hand side is 0 By the characteristic equation, there are real roots, $ \lambda = - \frac {1}{2} or - \frac {3}{2} ..

Problem 4 ~ 6의 경우 Homogeneous Soltn. 구하는 연습이 가능하고, Nonhomogeneous Soltn. 구할 때 Modification rule 또한 적용해 볼 수 있는 문제이다. 그동안 공부한 것들을 충분히 복습하여 내 것으로 만들자. Problem 4. Find the solution $$ y'' - 9 y = 18 cos \pi x $$ 1) Solution of homogeneous ODE Let's solve the equation : $ y'' - 9 y = 0 $ By the characteristic equation, there are two real roots, $ \lambda = 3 \ or \ -3 $ Hence, the solution of homogen..

Problem 1 ~ 3 의 경우에는 전부 Basic Rule 을 이용하는 단순한 문제다. Problem 1. Find the solution. $$ y'' + 5 y ' + 4 y = 10 e^{-3x} $$ 1) Solution of homogeneous ODEs. Let's solve : $ y'' + 5 y ' + 4 y = 0 $ Substitute $ y = e^{\lambda x} $ into homogeneous ODEs, $$ ( \lambda^{2} + 5 \lambda + 4 ) e^{\lambda} = 0 $$ By the characteristic equation, D > 0 , The ODE has 2 real roots. $$ \therefore y_{h} = c_{1} e^{..

하루에 3문제 푸는 것은 크게 부담이 가지 않아서 좋다. 느리더라도, 정확하게 알고 넘어가자. 더 이상은 모래 위에 성을 쌓지 않을 것이다. Review 이제 외워지는 것 같다. 안보고도 바로바로 식이 써진다. Nonhomogeneous 1st order ODE 의 식 형태는 다음과 같다. $$ y' + p(x)y = r(x) $$ 적분인자를 구하고, 전개하면 다음과 같은 식이 나온다. 이 때, $ h = \int {p(x) dx} $ 이다. $$ y(x) = e^{-h}(\int{e^{h} r(x) dx} + C) $$ Problem 11. $$ y' = (y - 2) cotx \ , \ cotx = \frac{1}{tanx} $$ $$ y' - y cotx = - 2 cotx $$ 한편, $ h = ..

하루에 세 문제씩 풀고 있다. 이제는 적분인자 구하는 과정 및 최종 결과식이 자연스레 외워진다. Review : For Nonhomogeneous ODE, for instance, $ y' + p(x) y = r(x) $ $$ y(x) = e^{-h} (\int{e^h r(x) dx} + C) \ , \ h = \int{p(x) dx} $$ Problem 8. $$ y' + y tanx = e^{-0.01x} cos x $$ $$ p(x) \equiv tanx \ , \ r(x) \equiv e^{-0.01x} cos x $$ $ h = \int {tanx dx} = ln(secx) $ 이므로, $$ y = e^{-ln(secx)} ( \int {e^{ln(secx) e ^{-0.01x} cos x dx..

Problem 5. $$ y' + ky = e^{-kx} $$ Let's say, $ p \equiv k , r(x) \equiv e^{-kx} $ $ h = \int{k dx} = - kx $ 이다. Substitute equation h in $ y(x) = e^{-h} (\int{e^h r dx} + C) $ $$ y = e^{ -kx } ( \int{e^{kx} e^{-kx} dx} + C ) $$ $$ y(x) = e^{-kx}(x + C) $$ $$ \therefore y = ce^{-kx} + xe^{-kx} $$ Problem 6. $$ y' + 2y = 4 cos 2x , y(\frac{1}{4}\pi) = 3 $$ Let's say, $ p \equiv 2 , r(x) \equiv 4c..