한걸음

1, 2 장을 잘 공부했다면 이번 챕터는 간단하게 읽고 넘어갈 수 있다. 기본 개념 "미지의 함수 $ y(x) $ 의 최고 차항의 도함수가 $ y^{n} = d^{n} y / d x^{n} $ 일 때 ODE의 차수는 n이다." 원서를 보면 복잡하게 써져 있는 말을 최대한 의역해서 작성했다. 가장 기본적이고 당연한 말이다. 그리고 ODE는 다음과 같은 관계일 때 선형(Linear)이라고 불린다. $$ y^{n} + p_{n-1} (x) y^{n - 1} + \cdots + p_{1} (x) y' + p_{0}(x) y = r(x) $$ 최고차항의 계수가 1이고 그 아래 차수부터 위와 같이 이루어진 경우를 기본형(Standard form)이라고 한다. 최고차항의 계수가 $ p_{n} (x) $ 인 경우 비선..

기본 개념 $$ y'' + p(x) y' + q(x) y = r(x) $$ $ r(x) $ 가 복잡하지 않았을 때에는 미정계수법(method of undetermined coefficients)을 활용해서 쉽게 풀 수 있었다. 이번 절에서는 $ r(x) $ 가 복잡한 경우에, 즉 일반적인 풀이법에 대해 설명한다. 이 방법을 Method of variation of parameters라고 부른다.(한국말로는 어떻게 말하는지 모르겠다.) 이에 따른 해는 다음과 같다. $$ y_{p}(x) = - y_{1} /int{\frac{y_{2} r}{W} dx} + y_{2} \int {\frac {y_{1} r}{W} dx} $$ 그리고, $ W $ 는 $ y_{1}, y_{2} $ 의 Wronskian 값이다. ..

1. Right Hand Side (RHS)가 0 이 아니다? 지금까지 Homogeneous ODEs에서 공부했다. 우변 항이 0인 경우에는 다양한 방법으로 해를 구했다. 짧게 복습하면 크게 3가지 방식으로 해를 구했던 것 같다. Homogeneous ODEs의 형태는 다음과 같다. $$ y'' + p(x) y' + q(x)y = 0 $$ $ p(x) \ , \ q(x) $ Constant 하나의 해를 알고있는 경우 계수감소법(Reduction of order) 기본적인 해를 구하는 방법 특성방정식(Characteristic Equation)을 통해 해를 구함. $ p(x) \ , \ q(x) $ are not C. Euler - Cauchy Equation $ y = x^m $ 를 대입하여 특성방정식을..

1. 계수들이 상수항이 아닌 경우? 이런 상황에도 특성방정식(Auxiliary Eq. or Characteristic Eq.)의 해를 구해서 일반해(General Solution)를 구할 수 있는 식의 형태가 있다. 이러한 경우의 방정식을 Euler-Cauchy Equation이라고 한다. $$ x^2 y'' + ax y' + by = 0 $$ $ y = x^m $ 으로 지수함수 형태의 해를 갖는다고 가정하자. 그리고 $ y' = mx^{m-1} \ , \ y'' = m(m-1) x^{m-2} $ 를 대입하면, 다음과 같이 정리할 수 있다. $$ x^2 m (m - 1) x^{m -2} ax m x^{m - 1} + bx^{m} = 0 $$ 그리고 $ x^m $ 으로 묶어서 정리하면 특성방정식을 얻을 수..

Intro Homogeneous linear ODEs 의 일반적인 식의 형태는 다음과 같다. $$ y'' + p(x) y' + q(x) y = 0 $$ 이 때, $ p(x) = a \ , \ q(x) = b \ , \ (a, b \ is \ constant) $ 일 때를 고려해보자. ※ 원서가 영어라서 그런지, 읽는데 오래걸렸는데 정리하고 보니 별거 없었다. 1. Characteristi equation 계수들이 상수항인경우의 상미분 방정식의 해를 $ y = e^{\lambda x} $ 라고 해보자. 그 다음, 1계 미분, 2계 미분 실시해서 식을 정리해보면 다음과 같은 꼴을 유도할 수 있다. $$ \lambda^{2} + a \lambda + b = 0 $$ 이를 특성방정식이라고 하며, 위의 식의 판별..

Intro 아래와 같은 형태를 가질 때 2nd order ODE 는 선형이라고 한다. $$ y'' + p(x) y ' + q(x) y = r(x) $$ 이 때, $ r(x) = 0 $ 이면 Homogeneous라고 하고, 아닌 경우에는 non-homogeneous 라고 한다. 1. Superposition or linearity principle Homogeneous equation 의 기본 구조는 중첩의 원리 또는 선형성의 원리를 따른다. 따라서, $ y'' + p(x) y' + q(x) y = 0 $ 의 해는 다음과 같은 선형조합(Linear combination)을 따른다. $$ y = c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2} $$ Theorem 1. 열린구간 I 에서 "Homogeneous ..

드디어 1.5절! 정리시작해봅시다. Intro. 아래와 같은 형태를 가질 때 First-order ODE는 선형(Linear)이라고 한다. $$ {y}' + p(x)y = r(x) $$ y의 차수가 1차 이기 때문에 해당 식을 선형이라고 부른다. y의 차수가 2차 이상이 되는 경우 비선형(NonLinear)이라고 한다. 이번 절에서는 Linear문제의 해를 구하는 것과, Nonlinear를 Linear로 바꾸어 해를 구하는 것을 공부한다. 1. Linear ODE 1.1 Homogeneous Linear ODE r(x)가 0 인 경우 선형미분방정식은 Homogeneous Linear ODE라고 한다. $$ {y}' + p(x)y = 0 $$ 변수분리법(Sperating Variables)을 활용하여 적분..

변수가 두개인, Constant 값을 갖는 함수의 미분은 0이다. 이 함수는 다음과 같은 형태로 표현된다. 이 형태는 다음과 같이 쓸 수 있다. M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0 이 형태를 책에서는 "Exact differential equation" 혹은 "differential form is exact"라고 한다. ※ 한글로는 완전미분방정식이라고 표현하는데, 영어 표현에 익숙해지도록 하자. ※ 한글로 번역했을때 쉽게 받아들여지지 않는 경우가 많기 때문이다. 이 때, M과 N을 각각 y와 x에 대해서 편미분 했을때 동일한 값을 갖는다면 해당 함수는 "Exact" 하다고 하여 적분과정이 단순해진다. Exactness 를 검사하는 방법은 다음과 같이 편미분을 실시하여 다음 조건이 성립 하는지 확..