Ch. 2 2nd order ODEs : 2.7 Nonhomogeneous ODEs

 

 

1. Right Hand Side (RHS)가 0 이 아니다?

  지금까지 Homogeneous ODEs에서 공부했다. 우변 항이 0인 경우에는 다양한 방법으로 해를 구했다. 짧게 복습하면 크게 3가지 방식으로 해를 구했던 것 같다. Homogeneous ODEs의 형태는 다음과 같다.

$$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$$

$p(x),q(x)$ Constant	하나의 해를 알고있는 경우	계수감소법(Reduction of order)
	기본적인 해를 구하는 방법	특성방정식(Characteristic Equation)을 통해 해를 구함.
$p(x),q(x)$ are not C.	Euler - Cauchy Equation	$y=x^m$ 를 대입하여 특성방정식을 구하고, 해를 구함.

 

 이제 Nonhomogeneous ODEs 의 해를 구하는 방법에 대해 생각해 보자.

 

$$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=r(x)$$

 

Nonhomogeneous ODEs의 해는 Homogeneous ODEs 의 일반해(General Soltn)와 Non - 의 해로 이루어진다. 

 

$$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$$

 

 이때, $y_h(x)$ 는 Homogeneous ODE의 일반해이고, $y_p(x)$ 는 Non homogeneous ODEs의 해이다.

 

2. 미정계수법(Method of Undetermined Coefficients)

 $p(x)$ , $q(x)$ 가 상수일 경우 미정계수법을 활용하여 해를 구할 수 있다. 크게 3가지 방법이 존재한다.

 

2.1 Basic Rule

  만약에 $r(x)$ 가 어떠한 함수로 정의되어 있을 경우에 해당 함수 꼴에 맞춰서 $y_p$ 를 결정하고 해를 구하면 된다.

가령, 

$$y^{″}+a{y}^{\prime }+b{y}^{\prime }=c{x}^2$$

 이라고 할 때, 가능한 해 $y_p$ 는 $K{x}^2$ 또는 $K_2{x}^2+K_{1}x+K_0$ 가 된다.

 

2.2 Modification Rule

 만약에 내가 구한 $y_p$ 의 해의 꼴이 $y_h$ 의 꼴과 같다면 $x,x^2$ 를 곱해준다. 

 

2.3 Sum Rule

 만약에 $r(x)$ 가 어떠한 함수들의 합으로 이루어져 있는 경우 $y_p$ 또한 각각의 함수들의 합의 형태로 나타낸다.

Sum Rule의 경우 Basic Rule을 응용한 경우라고 생각하면 될 것 같다.

 

3. 문제풀이

 이번 파트는 연습을 위해 꼭 문제를 풀어보고 가야겠다.

1. Problem Set 2.7 1 ~ 3

2. Problem Set 2.7 4 ~ 6

3. Problem Set 2.7 7 ~ 9

4. Problem Set 2.7 10 ~ 12

5. Problem Set 2.7 13 ~ 15