Ch. 2 2nd order ODEs : 2.2 Homogeneous Linear ODEs with Constant Coefficients

Intro

 Homogeneous linear ODEs 의 일반적인 식의 형태는 다음과 같다.

$$ y'' + p(x) y' + q(x) y = 0 $$

 이 때, $ p(x) = a \ , \ q(x) = b \ , \ (a, b \ is \ constant) $ 일 때를 고려해보자.

※ 원서가 영어라서 그런지, 읽는데 오래걸렸는데 정리하고 보니 별거 없었다.

 

1. Characteristi equation

 계수들이 상수항인경우의 상미분 방정식의 해를 $ y = e^{\lambda x} $ 라고 해보자. 그 다음, 1계 미분, 2계 미분 실시해서 식을 정리해보면 다음과 같은 꼴을 유도할 수 있다.

$$ \lambda^{2} + a \lambda + b = 0 $$

 이를 특성방정식이라고 하며, 위의 식의 판별식에 따라서 해가 결정된다. 

 

1.1 $ a^2 - 4 b > 0 $

 두 실근이 존재하므로, 기저(basis) $ y_1 \ , \ y_2 $ 가 존재한다. 따라서, 일반해(General Solution)은, 

$$ y = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x} $$

 

1.2 $ a^2 - 4 b = 0 $

 중근이므로, 식 하나는 $ y_1 = e^{-(a/2) x} $ 로 결정된다. 2계 상미분 방정식의 해의 형태는 기저의 선형조합 형태로 존재한다. 따라서, chap 2.1 처럼 $ y_2 = u y_1 $ 으로 두고 문제를 풀면, 하나의 해를 추가적으로 얻을 수 있다. 

$$ y = (c_1 + c_2 x) e^{-ax/2} $$

 

1.3 $ a^2 - 4b < 0 $

 허근을 가질 경우 매클로린 급수(Maclaurin series)를 이용하여 해를 유도한다. 이 부분은 미분과 적분 책 공부할 때 정리하도록 하고, 지금은 일반해의 형태만 알고 넘어가자.

$$ y = e^{-ax /2} (A cos \omega x + B sin \omega x ) $$