Ch. 2 2nd order ODEs : 2.1 Homogeneous Linear ODEs for 2nd order

Intro

 

 아래와 같은 형태를 가질 때 2nd order ODE 는 선형이라고 한다.

 

$$ y'' + p(x) y ' + q(x) y = r(x) $$

 

 이 때, $ r(x) = 0 $ 이면 Homogeneous라고 하고, 아닌 경우에는 non-homogeneous 라고 한다.

 

1. Superposition or linearity principle

 Homogeneous equation 의 기본 구조는 중첩의 원리 또는 선형성의 원리를 따른다. 따라서, $ y'' + p(x) y' + q(x) y = 0 $ 의 해는 다음과 같은 선형조합(Linear combination)을 따른다.

 

$$ y = c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2} $$

 

Theorem 1. 

 열린구간 I 에서 "Homogeneous linear ODE" 의 두 해가 속해있을 때, 그 두 해의 선형조합은 다시 I 의 해이다. 특수해(particular solution) 열린구간 I에 존재하는 해이다. 

 

 정리하자면, 어떤 방정식을 풀어서 두 해를 얻었다. 각각의 해를 선형 조합한 결과도 임의의 방정식의  해라는 이야기다. 책에 증명이 적혀있다. $ y'' + py' + qy' = 0 $ 에 $ y = c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2} $ 를 넣어서 정리해보면 알 수 있다.

 

2. Initial Value Problem

 1st linear ODEs 풀 때처럼, 초기값이 주어지면 Particular Solution 이 된다. 이 때, Homogeneous linear ODEs 의 해가 두 해의 선형조합으로 이루어져있다는 것을 고려한다면, 한 가지 조건이 붙게 된다. 그것은 $ y_{1}, y_{2} $ 가 서로 독립(Independent) 이어야 한다. 이 때, 각각의 해를 기저(Basis) 라고 한다. 특수해는 계수값들을 특정했을 때의 결과다. 정리하면 임의의 함수 $ y_{1}, y_{2} $ 가 정의된 구간에서,

$$ k_{1} y_{1}(x) + k_{2} y_{2} (x) = 0 $$ 

일 때,

$$ k_{1} = 0 , k_{2} = 0 $$

이어야 한다면, 

두 함수는 1차 독립이다.(Linearly Independent)

 

3. Reduction of Order

 Homogeneous linear 2nd order ODEs 에서 하나의 해를 알고 있을 때, 계수감소법(Reduction of Order) 를 활용해 나머지 해를 구할 수 있다. 일반적인 상황에서 설명해보자. 다음과 같은 식이 있다. 

$$ y'' + p(x) y' + q(x)y = 0  $$

이 때, $ y_{1} $ 이 주어져 있다고 가정하고, $ y_{2} = u(x) y_{1} $ 이라고 하자. 

$$ y = y_{2} = uy_{1} \ , \ y' = y'_{2} = u' y_{1} + uy'_{1} \ , \ y'' = y''_{2} = u''y_{1} + 2u'y'_{1} + uy''_{1} $$

를 대입하여 정리한 다음 치환해서 결과를 내면

$$ y_{2} = y_{1} u = y_{1} \int{U dx} \ , \ U = \frac {1}{y^{2}_{1}} e^{-\int{pdx}} $$