Ch. 1 1st order ODEs : 1.5 Linear ODEs.

드디어 1.5절! 정리시작해봅시다.

Intro.

아래와 같은 형태를 가질 때 First-order ODE는 선형(Linear)이라고 한다.
 
$$ {y}' + p(x)y = r(x) $$
 
y의 차수가 1차 이기 때문에 해당 식을 선형이라고 부른다.
y의 차수가 2차 이상이 되는 경우 비선형(NonLinear)이라고 한다.
이번 절에서는 Linear문제의 해를 구하는 것과, Nonlinear를 Linear로 바꾸어 해를 구하는 것을 공부한다.

 

1. Linear ODE

    1.1 Homogeneous Linear ODE

  r(x)가 0 인 경우 선형미분방정식은 Homogeneous Linear ODE라고 한다.
 
$$ {y}' + p(x)y = 0 $$
 
변수분리법(Sperating Variables)을 활용하여 적분하면
 
$$ \frac{dy}{y} = - p(x) dx , y(x) = ce^{-\int{p(x)dx}} $$
 
가 된다.
 

    1.2 Nonhomogeneous Linear ODE

Nonhomogeneous 의 경우에는 Integrating Factor를 구해서 전개하면 된다.
임의의 Integrating Factor F(x)를 곱하면,
 
$$ F{y}' + pFy = rF $$
 
${y}' = \frac{dy}{dx}$ 로 표현하면,
 
$$ Fdy + (pFy - rF)dx = 0 $$
 
우리가 앞서 1.4절에서 공부했던 전미분 형태의 식이 된다. Exactness를 위해서는 다음과 같은 조건을 만족해야 한다.
 
$$ \frac{\partial (pFy - rF)}{\partial y} = \frac{\partial F}{\partial x} $$
$$ \frac {1}{F} = F' $$
$$ F = e^{\int{pdx}} $$
 
 이 떄, $ h \equiv \int{pdx} $ 라고 하면,
 
$$ F = e^{h} $$
 
이고, 치환하면,
 
$$ e^h y' + h' e^h y = re^h $$
 
 이다. 여기에서 잘 관찰하면 약간의 트릭을 발견할 수 있다. LHS 의 형태가 $ e^h y $ 를 x에 대해서 미분한 것과 같은 형태이므로, 
 
$$ (e^h y)' = re^h $$
 
이다. 
 적분하면, 
 
$$ e^h y = \int{e^h r dx} + c $$
 
가 된다. 정리하면, 
 
$$ y(x) = e^{-h} (\int{e^h r dx} + c) , h = \int {p(x)dx} $$
 
 책에서는 전체 출력을 초기 데이터와 입력 값에 대한 반응의 합으로 표현된다. (명심하자)
 

"Total output = Response to the Input r + Response to the Initial Data"

 

2. Nonlinear ODE

ODE의 y 차수가 2 이상인 경우 비선형이라고 하고 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다.
 
$$ y' + p(x)y = g(x) y^a $$
 
a = 0, a = 1 일 때는 1차 선형 미분 방정식이니 패스.
나머지의 경우에 대해서 풀어보자. 비선형을 선형방정식 형태로 바꾸는 것은 생각보다 간단하다. 다음과 같이 치환하고, x에 대해 미분하면 다음과 같다. 
 
$$ u(x) = [y(x)]^{1-a} $$
$$ u' = (1-a)y^{-a} y' = (1 - a) y^{-a}(gy^a - py) $$
 
그리고, 식을 정리하면
 
$$ u' + (1 - a)pu = (1 - a) g $$
 
가 된다. 이제 Linear ODE형태가 되었으니 문제를 풀 수 있다!
 
Q. $ y^b $ 가 하나 더 생기면 어떻게 풀까?

 

# Problem Set 1.5 : 2 ~ 4

Advanced Engineering Math. Problem set 1.5 : 2 ~ 4

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