Advanced Engineering Math. Problem set 1.5 : 2 ~ 4

Problem SET 1.5 : 2 ~ 4

Problem 2. Integration Constant

 Give a reason why you may choose the constant of integration in $ \int p dx $ to be zero.

 Nonhomogeneous 적분인자 h 를 구할 때 상수 C를 무시한 이유에 대해 설명하라는 문제이다.

 Homongeneous Linead ODE에서의 해는

 

$$ y(x) = ce^{- \int{p(x) dx}} \ , \ c = \pm e^{c^*} $$

 

이고, Nonhomogeneous Linear ODE 에서는 상수항을 제거하여 $ F = e^h \ , \ h = \int {p dx} $ 만 사용한다. 상수항을 고려하여 식을 변경해보자. 

 

$$ h -> h + k \, (k \ is \ constant) $$

$$ y(x) = e^{-(h+k)} ( \int {e^{h + k} r(x) dx} + C ) $$

 

$ e^k $ 는 상수항이므로 적분 바깥으로 나올 수 있다. C의 경우 상수항이기 때문에 인자가 추가로 곱해져도 임의의 C로 정의가 가능하다.

 

$$ y(x) = e^{-h} e^{-k} e^{k} (\int{e^h r dx} + C) $$

$$ \therefore y(x) = e^{-h} (\int{e^h r dx} + C) $$

 

Problem 3. Find the general solution

$$ y' - y = 5.2 $$

$$ h = \int{-1 dx} = -x $$

$$ y(x) = e^{x} (\int{e^{-x} 5.2 dx + C) $$

$$ y(x) = e^{x} (5.2 ( - e^{-x}) + C) $$

$$ \therefore y(x) = ce^x - 5.2 $$

 

검토를 위해, 식을 한 쪽으로 정리하여 1.4절에 있던 방식으로 다시 풀어보자.

 

$$ (5.2 + y) dx - dy = 0 $$

 

Not Exact, Integration factor is required,

 

$$ \frac{1}{F} F' = \frac{1}{Q} ( P_y - Q_x ) $$

$$ F = e^{-x} $$

 

Multiply, integrating Factor, 

 

$$ e^{-x} ( 5.2 + y ) dx - e^{-x} dy= 0 $$

 

Let, $ u = \int{N dy} + l(x) $

 

$$ u(x, y) = -ye^{-x} + l(x) = 0 $$

$$ \frac {\partial u}{ \partial x } = ye^{-x} + l'(x) = e^{-x} (5.2 + y) $$

$$ l'(x) = 5.2e^{-x} $$

 

Integrate $ l'(x) $

 

$$ \therefore l(x) = - 5.2e^{-x} $$

 

Substitute in $ u(x, y) $

 

$$ u = -ye^{-x} - 5.2e^{-x} + C = 0 $$

$$ \therefore y(x) = Ce^{x} - 5.2 $$

Problem 4. Find the general solution

$$ y' = 2 y - 4 x $$

 

Let, $ p \equiv -2 , r(x) = - 4x $

 

$$ y(x) = e^{-h} (\int{e^h r dx} + C) $$

 

$ h = \int{-2 dx} = - 2x $ 이므로,

 

$$ y = e^{2x} ( \int{e^{-2x}(-4x)dx} + C ) $$

 

한편, 합성함수의 적분은 $ fg = f'g + fg' $ 이므로, $ f' = e^{-2x} \ , g = -4x $ 로 해서 적분 후 정리하면

 

$$ y(x) = 2x + 1 + Ce^{2x} $$