Advanced Engineering Math. Problem set 1.5 : 5 ~ 7

Problem 5.

$$ y' + ky = e^{-kx} $$

 

Let's say, $ p \equiv k , r(x) \equiv e^{-kx} $

 

$ h = \int{k dx} = - kx $ 이다.

 

Substitute equation h in $ y(x) = e^{-h} (\int{e^h r dx} + C) $

 

$$ y = e^{ -kx } ( \int{e^{kx} e^{-kx} dx} + C ) $$

 

$$ y(x) = e^{-kx}(x + C) $$

 

$$ \therefore y = ce^{-kx} + xe^{-kx} $$

 

Problem 6. 

$$ y' + 2y = 4 cos 2x , y(\frac{1}{4}\pi) = 3 $$

 

Let's say, $ p \equiv 2 , r(x) \equiv 4cos2x $

 

$ h =  2x $ 이다. (이제 이정도는 자동으로 바로바로 처리하자.)

 

Substitute equation h in $ y(x) = e^{-2x} (\int{ e^{2x} 4cos2x  dx} + C) $

 

Let's integrate $ I = \int{e^{2x} cos2x dx} $

 

한편, 합성함수의 적분은 $ \int{fg'} = fg - \int{f'g} $ 이므로, 적절히 선택하여 풀면

 

$$ \int{e^{2x} cos2x dx} = e^{2x} \frac{1}{2} sin2x  + \int{e^{2x} sin2x dx} $$

 

$$ \int{e^{2x} cos2x dx} = \frac{1}{2} e^{2x}  sin2x  + e^{2x} \frac{1}{2}cos2x - \int{2e^{2x} \frac{1}{2}cos2x dx} $$

 

한편, $ \int{e^{2x} cos2x dx}  = I $ 로 정의 했으므로, 우측 맨 끝 항을 LHS 로 이동하면,

 

$$ 2I = \frac{1}{2} e^{2x}  sin2x  + \frac{1}{2} e^{2x} cos2x $$

 

$$ \therefore I = \frac{1}{4} e^{2x}  sin2x  + \frac{1}{4} e^{2x} cos2x $$

 

이제 $ y(x) $ 를 정리하면, 

 

$$ \therefore y= e^{-2x} ( e^{2x}sin2x + e^{2x} cos2x + C) $$

 

Particular solution will be derived using initial condition, $ y(\frac{1}{4} \pi) = 3 $

 

$$ Particular \ solution : y(x) = 1 + ce^{- \frac{1}{2} \pi} $$

 

Problem 7.

$$ xy' = 2y + x^{3}e^{x} $$

 

Divide by x

 

$$ y' = \frac{2}{x}y + x^{2}e^{x} $$

 

Let's say, $ p(x) \equiv - \frac{2}{x} , r(x) \equiv x^{2}e^{x} $

 

$ h = \int{ - \frac{2}{x} dx} = - 2ln{x} $ 이다.

 

$$ y = e^{2lnx} (\int{e^{-2lnx} x^2 e^{x} dx} + C) $$

 

$$ \therefore y = x^2(e^{x} + C) $$