한걸음

1, 2 장을 잘 공부했다면 이번 챕터는 간단하게 읽고 넘어갈 수 있다. 기본 개념 "미지의 함수 $ y(x) $ 의 최고 차항의 도함수가 $ y^{n} = d^{n} y / d x^{n} $ 일 때 ODE의 차수는 n이다." 원서를 보면 복잡하게 써져 있는 말을 최대한 의역해서 작성했다. 가장 기본적이고 당연한 말이다. 그리고 ODE는 다음과 같은 관계일 때 선형(Linear)이라고 불린다. $$ y^{n} + p_{n-1} (x) y^{n - 1} + \cdots + p_{1} (x) y' + p_{0}(x) y = r(x) $$ 최고차항의 계수가 1이고 그 아래 차수부터 위와 같이 이루어진 경우를 기본형(Standard form)이라고 한다. 최고차항의 계수가 $ p_{n} (x) $ 인 경우 비선..

기본 개념 $$ y'' + p(x) y' + q(x) y = r(x) $$ $ r(x) $ 가 복잡하지 않았을 때에는 미정계수법(method of undetermined coefficients)을 활용해서 쉽게 풀 수 있었다. 이번 절에서는 $ r(x) $ 가 복잡한 경우에, 즉 일반적인 풀이법에 대해 설명한다. 이 방법을 Method of variation of parameters라고 부른다.(한국말로는 어떻게 말하는지 모르겠다.) 이에 따른 해는 다음과 같다. $$ y_{p}(x) = - y_{1} /int{\frac{y_{2} r}{W} dx} + y_{2} \int {\frac {y_{1} r}{W} dx} $$ 그리고, $ W $ 는 $ y_{1}, y_{2} $ 의 Wronskian 값이다. ..

1. Right Hand Side (RHS)가 0 이 아니다? 지금까지 Homogeneous ODEs에서 공부했다. 우변 항이 0인 경우에는 다양한 방법으로 해를 구했다. 짧게 복습하면 크게 3가지 방식으로 해를 구했던 것 같다. Homogeneous ODEs의 형태는 다음과 같다. $$ y'' + p(x) y' + q(x)y = 0 $$ $ p(x) \ , \ q(x) $ Constant 하나의 해를 알고있는 경우 계수감소법(Reduction of order) 기본적인 해를 구하는 방법 특성방정식(Characteristic Equation)을 통해 해를 구함. $ p(x) \ , \ q(x) $ are not C. Euler - Cauchy Equation $ y = x^m $ 를 대입하여 특성방정식을..

타자 치는데 시간이 많이 소요된다. 이미지로 업로드 Problem 13 Problem 14 Problem 15

문제 풀다 보니, 너무 지저분해서 캡처해서 업로드... Problem 10 Problem 11 Problem 12

Problem 7 ~ 9는 미분 연산자로 표현이 되어있다. 평소대로 읽어서 풀면 된다. 이런 표현은 자주 나오는데, 특히 공기역학 공부시 실체적 도함수(Substantial Derivatives)는 유용하니 익숙해지면 편하다. Problem 7. Find the solution $$ y'' + 2 y' + \frac {3}{4} y = 3 e^{x} + \frac {9}{2} x $$ 1) Solution of homogeneous ODE Let's solve the equation when right hand side is 0 By the characteristic equation, there are real roots, $ \lambda = - \frac {1}{2} or - \frac {3}{2} ..

Problem 4 ~ 6의 경우 Homogeneous Soltn. 구하는 연습이 가능하고, Nonhomogeneous Soltn. 구할 때 Modification rule 또한 적용해 볼 수 있는 문제이다. 그동안 공부한 것들을 충분히 복습하여 내 것으로 만들자. Problem 4. Find the solution $$ y'' - 9 y = 18 cos \pi x $$ 1) Solution of homogeneous ODE Let's solve the equation : $ y'' - 9 y = 0 $ By the characteristic equation, there are two real roots, $ \lambda = 3 \ or \ -3 $ Hence, the solution of homogen..

Problem 1 ~ 3 의 경우에는 전부 Basic Rule 을 이용하는 단순한 문제다. Problem 1. Find the solution. $$ y'' + 5 y ' + 4 y = 10 e^{-3x} $$ 1) Solution of homogeneous ODEs. Let's solve : $ y'' + 5 y ' + 4 y = 0 $ Substitute $ y = e^{\lambda x} $ into homogeneous ODEs, $$ ( \lambda^{2} + 5 \lambda + 4 ) e^{\lambda} = 0 $$ By the characteristic equation, D > 0 , The ODE has 2 real roots. $$ \therefore y_{h} = c_{1} e^{..