Ch. 2 2nd order ODEs : 2.10 Solution by Variation of Parameters

기본 개념

$$ y'' + p(x) y' + q(x) y = r(x) $$

 

 $ r(x) $ 가 복잡하지 않았을 때에는 미정계수법(method of undetermined coefficients)을 활용해서 쉽게 풀 수 있었다.

이번 절에서는 $ r(x) $ 가 복잡한 경우에, 즉 일반적인 풀이법에 대해 설명한다. 이 방법을 Method of variation of parameters라고 부른다.(한국말로는 어떻게 말하는지 모르겠다.) 이에 따른 해는 다음과 같다.

 

$$ y_{p}(x) = - y_{1} /int{\frac{y_{2} r}{W} dx} + y_{2} \int {\frac {y_{1} r}{W} dx} $$

 

그리고, $ W $ 는 $ y_{1}, y_{2} $ 의 Wronskian 값이다.

 

$$ W = y_{1} y'_{2} - y_{2} y'_{1} $$

 

전개

 Lagrange 가 제안한 이 방법은 Homogeneous ODE의 해의 구성에서 따온것이다. Homogeneous ODE의 해는 두 기저(Basis)에 각각의 상수항을 곱한 값의 조합으로써, $ y_{p} $ 를 구하는 것 또한, 비슷하게 해를 가정한다. 이때에는 각 상수항이 아닌, 임의의 식 $ u(x) \ , \ v(x) $ 의 곱으로 이루어져 있다고 가정한다. 그리고 우리는 각 임의의 해를 구하는 것이다. 

 

$$ y_{p}(x) = u(x)y_{1}(x) + v(x) y_{2}(x) $$

$$ y'_{p} = u'y_{1} + uy'_{1} + v'y_{2} + vy'_{2} $$

 

여기에서 가정을 하나 세운다

 

$$ u'y_{1} + v'y_{2} = 0 $$

 

 위 식을 통해 우리는 변수 2개인 방정식 2개를 만들 수 있고, 해를 유도할 수 있다. $ y''_{p} $ 를 구하여 Nonhomogeneous ODE에 대입하면, 

 

$$ u(y''_{1} + py'_{1} + qy_{1}) + v(y"_{2} + py'_{2} + qy_{2}) + u'y_{1} + v'y_{2} = r $$

 

 좌측항의 $ u $ 와 $ v $ 로 묶인 값들은 homogeneous ODE 의 해이므로 값은 0이다. 따라서 정리하면,

 

$$ u'y'_{1} + v'y'_{2} = 0 $$

 

이다. 두 번째 방정식을 구했다. 따라서, 위 방정식에 대해 $ u' $ , $ v' $ 를 구하여 적분하면 위에서 제시된 해를 구할 수 있다.

 ※ 책에서는 Cramer's rule 을 이용하여 구할 수 있다고 제시되어 있다. 현재는 모른다는 가정하에 방정식을 풀었다. 나중에 학습 후에는 추가로 정리할 예정이다.

 

문제풀이

문제 풀이는 번거롭더라도 Non homogeneous ODE 의 $ r(x) $ 가 최대한 복잡한 것 위주로만 풀이했다.