Ch. 3 Higher Order Linear ODEs : 1. Homogeneous Linear ODEs

1, 2 장을 잘 공부했다면 이번 챕터는 간단하게 읽고 넘어갈 수 있다.

기본 개념

"미지의 함수 $y(x)$ 의 최고 차항의 도함수가 $y^{n} = d^{n} y / d x^{n}$ 일 때 ODE의 차수는 n이다."

 

 원서를 보면 복잡하게 써져 있는 말을 최대한 의역해서 작성했다. 가장 기본적이고 당연한 말이다. 

그리고 ODE는 다음과 같은 관계일 때 선형(Linear)이라고 불린다.

$$y^{n} + p_{n-1} (x) y^{n - 1} + \cdots + p_{1} (x) y' + p_{0}(x) y = r(x)$$

최고차항의 계수가 1이고 그 아래 차수부터 위와 같이 이루어진 경우를 기본형(Standard form)이라고 한다. 최고차항의 계수가 $p_{n} (x)$ 인 경우 비선형(nonlinear)이라고 한다.

그리고 $r(x) = 0$ 인 경우에 homogeneous라고 하고, 0이 아닐 경우에는 nonhomogeneous라고 한다.

 

중첩의 원리, 일반해(Superposition Principle, General Solution)

 Chap 2.1의 내용과 같이 고차 선형 상미분 방정식은 중첩의 원리를 따른다.

 

Theorem 1.(Only for homogeneous!)

 " Homogenous Linear ODE의 해들이 구간 I 안에 존재하는 것들은 그것의 조합도 I 안에 존재한다. "

 

 그리고 개구간 I에 존재하는 일반해(General Solution)의 해는 다음과 같다.

 

$$y(x) = c_{1} y_{1} (x) + \cdots + c_{n} y_{n} (x)$$

 

 이때, $y_{1} , \cdots , y_{n}$ 은 Homogeneous ODE의 해인 기저(basis) 다. 그리고 특수해(Particular solution) 은 계수 값 $c_{1} , \cdots , c_{n}$ 에 의해 결정된다.

 또한, 이 해들의 조합은 선형 독립이어야 한다. 각각의 해가 서로에게 proportional 할 경우 선형 의존(Linearly dependent)이다. 이는 Wronskian 값을 구하여 독립여부를 판단할 수 있다.