Ch. 2 2nd order ODEs : 2.5 Euler-Cauchy Equations

1. 계수들이 상수항이 아닌 경우?

 이런 상황에도 특성방정식(Auxiliary Eq. or Characteristic Eq.)의 해를 구해서 일반해(General Solution)를 구할 수 있는 식의 형태가 있다. 이러한 경우의 방정식을 Euler-Cauchy Equation이라고 한다.

 

$$ x^2 y'' + ax y' + by = 0 $$

 

 $ y = x^m $ 으로 지수함수 형태의 해를 갖는다고 가정하자. 그리고 $ y' = mx^{m-1} \ , \ y'' = m(m-1) x^{m-2} $ 를 대입하면, 다음과 같이 정리할 수 있다.

 

$$ x^2 m (m - 1) x^{m -2} ax m x^{m - 1} + bx^{m} = 0 $$

 

그리고 $ x^m $ 으로 묶어서 정리하면 특성방정식을 얻을 수 있다.

 

$$ m^2 + (a - 1) m + b = 0 $$

 

특성 방정식의 해가 두 개의 실근을 가질 경우, 해의 꼴은 다음과 같다.

 

$$ y = c_1 x^m1 + c_2 x^m2 $$

 

특성 방정식의 해가 중근일 경우, 하나의 해를 알게 되었으므로 계수감소법을 이용해서 나머지 해를 구할 수 있다.

 

$$ y = (c_1 + c_2 ln x ) x^3 $$

 

2. 예제

 복습 겸 2.1의 문제 9번을 한 번 풀어보자. Problem Set 2.1에서 9번 문제에서는 해 하나를 제시한다.

 

$$ x^2 y '' - 5xy + 9 y = 0 \ , \ y_1 = x^3 $$

 

방정식을 보면 Euler-Cauchy eq. 임을 알 수 있다. 이제 특성방정식을 구해서 $ y_1 = x^3 $ 이 나올 수 있는지 확인해 보자. 나오지 않더라도, 다른 해를 구할 때 나오면 된다.

 

$ y = x^ m \ , \ y' = mx^{m - 1} \ , \ y '' = m ( m - 1 ) x ^ {m - 2} $ 를 위의 식에 대입하면,

 

$$ m(m-1)x^{m} - 5 m x^{m} + 9 x^{m} = 0 $$

 

$$ x^{m} ( m^2 - 6m + 9 ) = 0 $$

 

특성방정식의 해가 중근이므로, 첫 번째 결정되는 해는,

 

$$ y_1 = x^3 $$

 

두 번째 해는 계수감소법을 이용해서 구하면 된다.