Ch. 2 2nd order ODEs : 2.2 Homogeneous Linear ODEs with Constant Coefficients

Intro

 Homogeneous linear ODEs 의 일반적인 식의 형태는 다음과 같다.

$$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$$

 이 때, $p(x)=a,q(x)=b,(a,bisconstant)$ 일 때를 고려해보자.

※ 원서가 영어라서 그런지, 읽는데 오래걸렸는데 정리하고 보니 별거 없었다.

 

1. Characteristi equation

 계수들이 상수항인경우의 상미분 방정식의 해를 $y=e^{\lambda x}$ 라고 해보자. 그 다음, 1계 미분, 2계 미분 실시해서 식을 정리해보면 다음과 같은 꼴을 유도할 수 있다.

$${\lambda }^2+a\lambda +b=0$$

 이를 특성방정식이라고 하며, 위의 식의 판별식에 따라서 해가 결정된다. 

 

1.1 $a^2-4b>0$

 두 실근이 존재하므로, 기저(basis) $y_1,y_2$ 가 존재한다. 따라서, 일반해(General Solution)은, 

$$y=c_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+c_2{e}^{{\lambda }_{2}x}$$

 

1.2 $a^2-4b=0$

 중근이므로, 식 하나는 $y_1=e^{-(a/2)x}$ 로 결정된다. 2계 상미분 방정식의 해의 형태는 기저의 선형조합 형태로 존재한다. 따라서, chap 2.1 처럼 $y_2=u{y}_1$ 으로 두고 문제를 풀면, 하나의 해를 추가적으로 얻을 수 있다. 

$$y=(c_1+c_{2}x)e^{-ax/2}$$

 

1.3 $a^2-4b<0$

 허근을 가질 경우 매클로린 급수(Maclaurin series)를 이용하여 해를 유도한다. 이 부분은 미분과 적분 책 공부할 때 정리하도록 하고, 지금은 일반해의 형태만 알고 넘어가자.

$$y=e^{-ax/2}(Acos\omega x+Bsin\omega x)$$