Ch. 2 2nd order ODEs : 2.10 Solution by Variation of Parameters

기본 개념

$$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=r(x)$$

 

 $r(x)$ 가 복잡하지 않았을 때에는 미정계수법(method of undetermined coefficients)을 활용해서 쉽게 풀 수 있었다.

이번 절에서는 $r(x)$ 가 복잡한 경우에, 즉 일반적인 풀이법에 대해 설명한다. 이 방법을 Method of variation of parameters라고 부른다.(한국말로는 어떻게 말하는지 모르겠다.) 이에 따른 해는 다음과 같다.

 

$$y_p(x)=-y_1/int\frac{y_{2}r}{W}dx+y_2\int \frac{y_{1}r}{W}dx$$

 

그리고, $W$ 는 $y_1,y_2$ 의 Wronskian 값이다.

 

$$W=y_1{y}_2^{\prime }-y_2{y}_1^{\prime }$$

 

전개

 Lagrange 가 제안한 이 방법은 Homogeneous ODE의 해의 구성에서 따온것이다. Homogeneous ODE의 해는 두 기저(Basis)에 각각의 상수항을 곱한 값의 조합으로써, $y_p$ 를 구하는 것 또한, 비슷하게 해를 가정한다. 이때에는 각 상수항이 아닌, 임의의 식 $u(x),v(x)$ 의 곱으로 이루어져 있다고 가정한다. 그리고 우리는 각 임의의 해를 구하는 것이다. 

 

$$y_p(x)=u(x)y_1(x)+v(x)y_2(x)$$

$$y_p^{\prime }=u^{\prime }{y}_1+u{y}_1^{\prime }+v^{\prime }{y}_2+v{y}_2^{\prime }$$

 

여기에서 가정을 하나 세운다

 

$$u^{\prime }{y}_1+v^{\prime }{y}_2=0$$

 

 위 식을 통해 우리는 변수 2개인 방정식 2개를 만들 수 있고, 해를 유도할 수 있다. $y_p^{″}$ 를 구하여 Nonhomogeneous ODE에 대입하면, 

 

$$u(y_1^{″}+p{y}_1^{\prime }+q{y}_1)+v(y{"}_2+p{y}_2^{\prime }+q{y}_2)+u^{\prime }{y}_1+v^{\prime }{y}_2=r$$

 

 좌측항의 $u$ 와 $v$ 로 묶인 값들은 homogeneous ODE 의 해이므로 값은 0이다. 따라서 정리하면,

 

$$u^{\prime }{y}_1^{\prime }+v^{\prime }{y}_2^{\prime }=0$$

 

이다. 두 번째 방정식을 구했다. 따라서, 위 방정식에 대해 $u^{\prime }$ , $v^{\prime }$ 를 구하여 적분하면 위에서 제시된 해를 구할 수 있다.

 ※ 책에서는 Cramer's rule 을 이용하여 구할 수 있다고 제시되어 있다. 현재는 모른다는 가정하에 방정식을 풀었다. 나중에 학습 후에는 추가로 정리할 예정이다.

 

문제풀이

문제 풀이는 번거롭더라도 Non homogeneous ODE 의 $r(x)$ 가 최대한 복잡한 것 위주로만 풀이했다.