Advanced Engineering Math. Problem set 1.5 : 11 ~ 13

하루에 3문제 푸는 것은 크게 부담이 가지 않아서 좋다.

느리더라도, 정확하게 알고 넘어가자.

더 이상은 모래 위에 성을 쌓지 않을 것이다.

Review 

  이제 외워지는 것 같다. 안보고도 바로바로 식이 써진다. 

  Nonhomogeneous 1st order ODE 의 식 형태는 다음과 같다.

$$y^{\prime }+p(x)y=r(x)$$

적분인자를 구하고, 전개하면 다음과 같은 식이 나온다. 이 때, $h=\int p(x)dx$ 이다.

$$y(x)=e^{-h}(\int e^{h}r(x)dx+C)$$

 

Problem 11.

$$y^{\prime }=(y-2)cotx,cotx=\frac{1}{tanx}$$

$$y^{\prime }-ycotx=-2cotx$$

한편, $h=-\int \frac{1}{tanx}dx=-ln(sinx)$ 이므로,

 

$$y=e^{-(-ln(sinx))}(\int e^{-ln(sinx)}(-2\frac{1}{tanx})dx+C)$$

적분 영역에 대해서, $sinx=t$ 로 치환 하여 적분하면,

$$\therefore y(x)=sinx(\frac{2}{sinx}+C)$$

 

Problem 12.

$$x{y}^{\prime }+4y=8x^4,y(1)=2$$

양 변을 x로 나누면,

$$y^{\prime }+\frac{4}{x}y=8x^3$$

한편, $h=\int \frac{4}{x}dx=4lnx$ 이므로, 

 

$$y=e^{-4lnx}(\int e^{4lnx}8x^{3}dx+C)$$

$$\therefore x^4+C/x^4$$

초기조건 $y(1)=2$ 에 의해서,

$$2=1+C/1$$

$$\therefore y(x)=x^4+1/x^4$$

 

Problem 13.

 치환을 하면 편하게 풀 수 있기는 하지만, 정공법으로 가보자.

$$y^{\prime }=6(y-2.5)tanh(1.5x)$$

우리가 아는 형태로 바꾸면,

$$y^{\prime }-6ytanh(1.5x)=-15tanh(1.5x)$$

한편, $h=-6\int tanh(1.5x)dx=-4lncosh(1.5x)$ 이므로, 

 

$$y=e^{4ln(cosh(1.5x)}(-15\int e^{-4lncosh(1.5x)}sinh(1.5x)/cosh(1.5x)dx+C)$$

$$y=(cosh(1.5x){)}^4(-15(\int (cosh(1.5x{)}^{-4}sinh(1.5x)/cosh(1.5x)dx+C))$$

적분 영역에 대해서 $cosh(1.5x)=t$ 로 치환하여 적분하면, 

$$\therefore y(x)=(cosh(1.5x){)}^4)(2.5cosh(1.5x{)}^{-4}+C)$$

$$\therefore y(x)=2.5+C(cosh(1.5x){)}^4$$