Advanced Engineering Math. Problem set 1.5 : 8 ~ 10

하루에 세 문제씩 풀고 있다. 이제는 적분인자 구하는 과정 및 최종 결과식이 자연스레 외워진다.

Review : For Nonhomogeneous ODE, for instance, $y^{\prime }+p(x)y=r(x)$

$$y(x)=e^{-h}(\int e^{h}r(x)dx+C),h=\int p(x)dx$$

Problem 8.

$$y^{\prime }+ytanx=e^{-0.01x}cosx$$

$$p(x)\equiv tanx,r(x)\equiv e^{-0.01x}cosx$$

$h=\int tanxdx=ln(secx)$ 이므로,

$$ y = e^{-ln(secx)} ( \int {e^{ln(secx) e ^{-0.01x} cos x dx} + C ) $$

$$\therefore y(x)=cosx(-100e^{-0.01x}+C)$$

By initial condition, $y(0)=0$

$$\therefore C=100$$

$$\therefore y(x)=cosx(-100e^{-0.01x}+100)$$

 

Problem 9.

$$y^{\prime }+ysinx=e^{cosx}$$

$h=\int sinxdx=-cosx$ 이므로, 

$$ y = e^{cosx} (\int {{e^{-cosx} e^{cosx} dx} + C ) $$

$$\therefore y(x)=e^{cosx}(x+C)$$

By initial condition, $y(0)=-2.5$

$$\therefore y(x)=e^{cosx}(x-2.5/e)$$

 

Problem 10.

$$y^{\prime }cosx+(3y-1)secx=0$$

정리하면,

$$y^{\prime }+3yse{c}^{2}x=se{c}^{2}x$$

$h=3\int se{c}^{2}xdx=3tanx$ 이므로,

$$y(x)=e^{-3tanx}(\int e^{3tanx}se{c}^{2}xdx+C)$$

적분 구간만 따로 먼저 적분을 실시하자. 다음 식 $\int e^{3tanx}se{c}^{2}xdx$ 에서 $tanx$ 를 t로 치환하면,

$$tanx=t$$

$$se{c}^{2}xdx=dt$$

$$\therefore \int e^{3tanx}se{c}^{2}xdx=\int e^{3t}dt$$

$$\therefore y(x)=e^{-3tanx}(\frac{1}{3}{e}^{3tanx}+C)$$