Ch. 1 1st order ODEs : 1.4 Exact ODEs. Integrating Factors

변수가 두개인, Constant 값을 갖는 함수의 미분은 0이다.

이 함수는 다음과 같은 형태로 표현된다.

 

이 형태는 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0 

 

이 형태를 책에서는 "Exact differential equation" 혹은 "differential form is exact"라고 한다.

※ 한글로는 완전미분방정식이라고 표현하는데, 영어 표현에 익숙해지도록 하자. 

※ 한글로 번역했을때 쉽게 받아들여지지 않는 경우가 많기 때문이다. 

 

이 때, M과 N을 각각 y와 x에 대해서 편미분 했을때 동일한 값을 갖는다면 해당 함수는 "Exact" 하다고 하여

적분과정이 단순해진다. Exactness 를 검사하는 방법은 다음과 같이 편미분을 실시하여 다음 조건이 성립 하는지 확인한다.

 

 

Exactness 를 갖는 경우에는 손쉽게 u(x, y)를 구할 수 있다.

순서는,

 

1. Integrate M or N, for instance,

2. differentiate u with respect y, find k'(y) 

 - 미지의 k가 y를 변수로 갖는 함수로 가정했을때 y로 편미분한 결과는 N과 같아야 함을 이용한다.

 

3. integrate k'(y)

4. Solve

 

하지만, 모든 경우에 풀 수 있는 것은 아니고 항상 M 과 N을 각각 편미분했을 때 값이 동일한 경우에만 계산이 가능하다. 이렇게 풀 수 없는 경우에는 Integrating Factor를 곱해주어서 구하게 된다. 임의의 함수 F를 곱해줌으로써 가능하게 만들 수 있다. 책에서는 변수가 한개인 함수를 차용함으로써 구하는 것을 보여준다. M, N을 P와 Q라고 했을 때, 그리고 Factor F가 X에 대한 함수라고 가정한다면, 다음과 같이 Factor를 구할 수 있다.

Factor F 가 y 인 경우에는,

위의 식을 적분하면 Exponential 형태로 값이 나오고, 그것을 원래 식에 곱해서 풀면 문제가 풀린다.

아직까지는 복잡해지지 않아서 다행이다. 

 

"We look for an integrating factor depending only on one variable : Fortunately, in many practical cases, there are such factors, as we shall see."

 

그러나 문제 풀이 중에 Factor가 주어지는 경우가 있는데, 이 형태를 보면 언젠가는 복잡하게 풀어야하는 날이 올 것 같은 느낌이 든다.

 

 수식 전개하는 것은.. 다른 블로그에도 친절히 설명이 많이 되어있으니.. 이제 문제로 넘어가보자.

 

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