Advanced Engineering Math. Problem set 1.5 : 11 ~ 13

하루에 3문제 푸는 것은 크게 부담이 가지 않아서 좋다.

느리더라도, 정확하게 알고 넘어가자.

더 이상은 모래 위에 성을 쌓지 않을 것이다.

Review 

  이제 외워지는 것 같다. 안보고도 바로바로 식이 써진다. 

  Nonhomogeneous 1st order ODE 의 식 형태는 다음과 같다.

$$ y' + p(x)y = r(x) $$

적분인자를 구하고, 전개하면 다음과 같은 식이 나온다. 이 때, $ h = \int {p(x) dx} $ 이다.

$$ y(x) = e^{-h}(\int{e^{h} r(x) dx} + C) $$

 

Problem 11.

$$ y' = (y - 2) cotx \ , \ cotx = \frac{1}{tanx} $$

$$ y' - y cotx = - 2 cotx $$

한편, $ h = - \int{ \frac{1}{tanx} dx} = - ln (sinx) $ 이므로,

 

$$ y = e^{-(-ln(sinx))} (\int{e^{-ln(sinx)} ( - 2 \frac{1}{tanx}) dx } + C) $$

적분 영역에 대해서, $ sinx = t $ 로 치환 하여 적분하면,

$$ \therefore y(x) = sinx ( \frac{2}{sinx} + C) $$

 

Problem 12.

$$ xy' + 4y = 8x^4 \ , \ y(1) = 2 $$

양 변을 x로 나누면,

$$ y' + \frac{4}{x} y = 8 x^{3} $$

한편, $ h = \int{ \frac{4}{x} dx } = 4 ln{x} $ 이므로, 

 

$$ y = e^{-4lnx} (\int{e^{4lnx} 8 x^3 dx + C)} $$

$$ \therefore x^4 + C / x^4 $$

초기조건 $ y(1) = 2 $ 에 의해서,

$$ 2 = 1 + C / 1 $$

$$ \therefore y(x) = x^4 + 1/x^4 $$

 

Problem 13.

 치환을 하면 편하게 풀 수 있기는 하지만, 정공법으로 가보자.

$$ y' = 6(y - 2.5) tanh (1.5x) $$

우리가 아는 형태로 바꾸면,

$$ y' - 6y tanh(1.5x) = -15 tanh (1.5x) $$

한편, $ h = - 6 \int{tanh (1.5x) dx} = - 4 ln cosh (1.5x) $ 이므로, 

 

$$ y = e^{4 ln(cosh(1.5x)} (-15 \int{e^{-4 ln cosh(1.5x)} sinh(1.5x) / cosh(1.5x) dx} + C ) $$

$$ y = (cosh(1.5x))^{4} ( - 15(\int{(cosh(1.5x)^{-4} sinh(1.5x) / cosh(1.5x) dx } + C)) $$

적분 영역에 대해서 $ cosh(1.5x) = t $ 로 치환하여 적분하면, 

$$ \therefore y(x) = (cosh(1.5x))^{4})(2.5 cosh(1.5x)^{-4} + C ) $$

$$ \therefore y(x) = 2.5 + C (cosh(1.5x))^{4} $$