Advanced Engineering Math. Problem set 1.5 : 8 ~ 10

하루에 세 문제씩 풀고 있다. 이제는 적분인자 구하는 과정 및 최종 결과식이 자연스레 외워진다.

Review : For Nonhomogeneous ODE, for instance, $ y' + p(x) y = r(x) $

$$ y(x) = e^{-h} (\int{e^h r(x) dx} + C) \ , \ h = \int{p(x) dx} $$

Problem 8.

$$ y' + y tanx = e^{-0.01x} cos x $$

$$ p(x) \equiv tanx \ , \ r(x) \equiv e^{-0.01x} cos x $$

$ h = \int {tanx dx} = ln(secx) $ 이므로,

$$ y = e^{-ln(secx)} ( \int {e^{ln(secx) e ^{-0.01x} cos x dx} + C ) $$

$$ \therefore y(x) = cosx ( - 100 e^{-0.01 x} + C ) $$

By initial condition, $ y(0) = 0 $

$$ \therefore C = 100 $$

$$ \therefore y(x) = cosx ( - 100 e^{-0.01x} + 100) $$

 

Problem 9.

$$ y' + y sinx = e^{cosx} $$

$ h = \int{sinx dx} = - cosx $ 이므로, 

$$ y = e^{cosx} (\int {{e^{-cosx} e^{cosx} dx} + C ) $$

$$ \therefore y(x) = e^{cosx} ( x + C) $$

By initial condition, $ y(0) = -2.5 $

$$ \therefore y(x) = e^{cosx} ( x - 2.5 / e) $$

 

Problem 10.

$$ y' cosx + (3y - 1) sec x = 0 $$

정리하면,

$$ y' + 3 y sec^2 x = sec^2 x $$

$ h = 3 \int sec^2 x dx = 3 tanx $ 이므로,

$$ y(x) = e^{-3tanx}( \int e^{3tanx} sec^2 x dx + C) $$

적분 구간만 따로 먼저 적분을 실시하자. 다음 식 $ \int{ e^{3tanx} sec^2 x dx} $ 에서 $ tanx $ 를 t로 치환하면,

$$ tanx = t $$

$$ sec^2 x dx = dt $$

$$ \therefore \int e^{3tanx} sec^2 x dx = \int{e^{3t}dt} $$

$$ \therefore y(x) = e^{-3tanx} (\frac{1}{3} e^{3tanx} + C)$$