한걸음

1. 계수들이 상수항이 아닌 경우? 이런 상황에도 특성방정식(Auxiliary Eq. or Characteristic Eq.)의 해를 구해서 일반해(General Solution)를 구할 수 있는 식의 형태가 있다. 이러한 경우의 방정식을 Euler-Cauchy Equation이라고 한다. $$ x^2 y'' + ax y' + by = 0 $$ $ y = x^m $ 으로 지수함수 형태의 해를 갖는다고 가정하자. 그리고 $ y' = mx^{m-1} \ , \ y'' = m(m-1) x^{m-2} $ 를 대입하면, 다음과 같이 정리할 수 있다. $$ x^2 m (m - 1) x^{m -2} ax m x^{m - 1} + bx^{m} = 0 $$ 그리고 $ x^m $ 으로 묶어서 정리하면 특성방정식을 얻을 수..

Intro Homogeneous linear ODEs 의 일반적인 식의 형태는 다음과 같다. $$ y'' + p(x) y' + q(x) y = 0 $$ 이 때, $ p(x) = a \ , \ q(x) = b \ , \ (a, b \ is \ constant) $ 일 때를 고려해보자. ※ 원서가 영어라서 그런지, 읽는데 오래걸렸는데 정리하고 보니 별거 없었다. 1. Characteristi equation 계수들이 상수항인경우의 상미분 방정식의 해를 $ y = e^{\lambda x} $ 라고 해보자. 그 다음, 1계 미분, 2계 미분 실시해서 식을 정리해보면 다음과 같은 꼴을 유도할 수 있다. $$ \lambda^{2} + a \lambda + b = 0 $$ 이를 특성방정식이라고 하며, 위의 식의 판별..

Intro 아래와 같은 형태를 가질 때 2nd order ODE 는 선형이라고 한다. $$ y'' + p(x) y ' + q(x) y = r(x) $$ 이 때, $ r(x) = 0 $ 이면 Homogeneous라고 하고, 아닌 경우에는 non-homogeneous 라고 한다. 1. Superposition or linearity principle Homogeneous equation 의 기본 구조는 중첩의 원리 또는 선형성의 원리를 따른다. 따라서, $ y'' + p(x) y' + q(x) y = 0 $ 의 해는 다음과 같은 선형조합(Linear combination)을 따른다. $$ y = c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2} $$ Theorem 1. 열린구간 I 에서 "Homogeneous ..

드디어 1.5절! 정리시작해봅시다. Intro. 아래와 같은 형태를 가질 때 First-order ODE는 선형(Linear)이라고 한다. $$ {y}' + p(x)y = r(x) $$ y의 차수가 1차 이기 때문에 해당 식을 선형이라고 부른다. y의 차수가 2차 이상이 되는 경우 비선형(NonLinear)이라고 한다. 이번 절에서는 Linear문제의 해를 구하는 것과, Nonlinear를 Linear로 바꾸어 해를 구하는 것을 공부한다. 1. Linear ODE 1.1 Homogeneous Linear ODE r(x)가 0 인 경우 선형미분방정식은 Homogeneous Linear ODE라고 한다. $$ {y}' + p(x)y = 0 $$ 변수분리법(Sperating Variables)을 활용하여 적분..

하루에 3문제 푸는 것은 크게 부담이 가지 않아서 좋다. 느리더라도, 정확하게 알고 넘어가자. 더 이상은 모래 위에 성을 쌓지 않을 것이다. Review 이제 외워지는 것 같다. 안보고도 바로바로 식이 써진다. Nonhomogeneous 1st order ODE 의 식 형태는 다음과 같다. $$ y' + p(x)y = r(x) $$ 적분인자를 구하고, 전개하면 다음과 같은 식이 나온다. 이 때, $ h = \int {p(x) dx} $ 이다. $$ y(x) = e^{-h}(\int{e^{h} r(x) dx} + C) $$ Problem 11. $$ y' = (y - 2) cotx \ , \ cotx = \frac{1}{tanx} $$ $$ y' - y cotx = - 2 cotx $$ 한편, $ h = ..

하루에 세 문제씩 풀고 있다. 이제는 적분인자 구하는 과정 및 최종 결과식이 자연스레 외워진다. Review : For Nonhomogeneous ODE, for instance, $ y' + p(x) y = r(x) $ $$ y(x) = e^{-h} (\int{e^h r(x) dx} + C) \ , \ h = \int{p(x) dx} $$ Problem 8. $$ y' + y tanx = e^{-0.01x} cos x $$ $$ p(x) \equiv tanx \ , \ r(x) \equiv e^{-0.01x} cos x $$ $ h = \int {tanx dx} = ln(secx) $ 이므로, $$ y = e^{-ln(secx)} ( \int {e^{ln(secx) e ^{-0.01x} cos x dx..

Problem 5. $$ y' + ky = e^{-kx} $$ Let's say, $ p \equiv k , r(x) \equiv e^{-kx} $ $ h = \int{k dx} = - kx $ 이다. Substitute equation h in $ y(x) = e^{-h} (\int{e^h r dx} + C) $ $$ y = e^{ -kx } ( \int{e^{kx} e^{-kx} dx} + C ) $$ $$ y(x) = e^{-kx}(x + C) $$ $$ \therefore y = ce^{-kx} + xe^{-kx} $$ Problem 6. $$ y' + 2y = 4 cos 2x , y(\frac{1}{4}\pi) = 3 $$ Let's say, $ p \equiv 2 , r(x) \equiv 4c..

Problem SET 1.5 : 2 ~ 4 Problem 2. Integration Constant Give a reason why you may choose the constant of integration in $ \int p dx $ to be zero. Nonhomogeneous 적분인자 h 를 구할 때 상수 C를 무시한 이유에 대해 설명하라는 문제이다. Homongeneous Linead ODE에서의 해는 $$ y(x) = ce^{- \int{p(x) dx}} \ , \ c = \pm e^{c^*} $$ 이고, Nonhomogeneous Linear ODE 에서는 상수항을 제거하여 $ F = e^h \ , \ h = \int {p dx} $ 만 사용한다. 상수항을 고려하여 식을 변경해보자. $$..