Ch. 2 2nd order ODEs : 2.5 Euler-Cauchy Equations

1. 계수들이 상수항이 아닌 경우?

 이런 상황에도 특성방정식(Auxiliary Eq. or Characteristic Eq.)의 해를 구해서 일반해(General Solution)를 구할 수 있는 식의 형태가 있다. 이러한 경우의 방정식을 Euler-Cauchy Equation이라고 한다.

 

$$x^2{y}^{″}+ax{y}^{\prime }+by=0$$

 

 $y=x^m$ 으로 지수함수 형태의 해를 갖는다고 가정하자. 그리고 $y^{\prime }=m{x}^{m-1},y^{″}=m(m-1)x^{m-2}$ 를 대입하면, 다음과 같이 정리할 수 있다.

 

$$x^{2}m(m-1)x^{m-2}axm{x}^{m-1}+b{x}^m=0$$

 

그리고 $x^m$ 으로 묶어서 정리하면 특성방정식을 얻을 수 있다.

 

$$m^2+(a-1)m+b=0$$

 

특성 방정식의 해가 두 개의 실근을 가질 경우, 해의 꼴은 다음과 같다.

 

$$y=c_1{x}^{m}1+c_2{x}^{m}2$$

 

특성 방정식의 해가 중근일 경우, 하나의 해를 알게 되었으므로 계수감소법을 이용해서 나머지 해를 구할 수 있다.

 

$$y=(c_1+c_{2}lnx)x^3$$

 

2. 예제

 복습 겸 2.1의 문제 9번을 한 번 풀어보자. Problem Set 2.1에서 9번 문제에서는 해 하나를 제시한다.

 

$$x^2{y}^{″}-5xy+9y=0,y_1=x^3$$

 

방정식을 보면 Euler-Cauchy eq. 임을 알 수 있다. 이제 특성방정식을 구해서 $y_1=x^3$ 이 나올 수 있는지 확인해 보자. 나오지 않더라도, 다른 해를 구할 때 나오면 된다.

 

$y=x^m,y^{\prime }=m{x}^{m-1},y^{″}=m(m-1)x^{m-2}$ 를 위의 식에 대입하면,

 

$$m(m-1)x^m-5m{x}^m+9x^m=0$$

 

$$x^m(m^2-6m+9)=0$$

 

특성방정식의 해가 중근이므로, 첫 번째 결정되는 해는,

 

$$y_1=x^3$$

 

두 번째 해는 계수감소법을 이용해서 구하면 된다.