Ch. 2 2nd order ODEs : 2.7 Nonhomogeneous ODEs

 

 

1. Right Hand Side (RHS)가 0 이 아니다?

  지금까지 Homogeneous ODEs에서 공부했다. 우변 항이 0인 경우에는 다양한 방법으로 해를 구했다. 짧게 복습하면 크게 3가지 방식으로 해를 구했던 것 같다. Homogeneous ODEs의 형태는 다음과 같다.

$$ y'' + p(x) y' + q(x)y = 0 $$

$ p(x) \ , \ q(x) $ Constant	하나의 해를 알고있는 경우	계수감소법(Reduction of order)
	기본적인 해를 구하는 방법	특성방정식(Characteristic Equation)을 통해 해를 구함.
$ p(x) \ , \ q(x) $ are not C.	Euler - Cauchy Equation	$ y = x^m $ 를 대입하여 특성방정식을 구하고, 해를 구함.

 

 이제 Nonhomogeneous ODEs 의 해를 구하는 방법에 대해 생각해 보자.

 

$$ y'' + p(x) y' + q(x) y = r(x) $$

 

Nonhomogeneous ODEs의 해는 Homogeneous ODEs 의 일반해(General Soltn)와 Non - 의 해로 이루어진다. 

 

$$ y(x) = y_h (x) + y_p (x) $$

 

 이때, $ y_{h}(x) $ 는 Homogeneous ODE의 일반해이고, $ y_{p}(x) $ 는 Non homogeneous ODEs의 해이다.

 

2. 미정계수법(Method of Undetermined Coefficients)

 $ p(x) $ , $ q(x) $ 가 상수일 경우 미정계수법을 활용하여 해를 구할 수 있다. 크게 3가지 방법이 존재한다.

 

2.1 Basic Rule

  만약에 $ r(x) $ 가 어떠한 함수로 정의되어 있을 경우에 해당 함수 꼴에 맞춰서 $ y_{p} $ 를 결정하고 해를 구하면 된다.

가령, 

$$ y'' + a y' + b y ' = cx^{2} $$

 이라고 할 때, 가능한 해 $ y_{p} $ 는 $ Kx^{2} $ 또는 $ K_{2} x ^{2} + K_{1} x + K_{0} $ 가 된다.

 

2.2 Modification Rule

 만약에 내가 구한 $ y_{p} $ 의 해의 꼴이 $ y_{h} $ 의 꼴과 같다면 $ x \ , \ x^{2} $ 를 곱해준다. 

 

2.3 Sum Rule

 만약에 $ r(x) $ 가 어떠한 함수들의 합으로 이루어져 있는 경우 $ y_{p} $ 또한 각각의 함수들의 합의 형태로 나타낸다.

Sum Rule의 경우 Basic Rule을 응용한 경우라고 생각하면 될 것 같다.

 

3. 문제풀이

 이번 파트는 연습을 위해 꼭 문제를 풀어보고 가야겠다.

1. Problem Set 2.7 1 ~ 3

2. Problem Set 2.7 4 ~ 6

3. Problem Set 2.7 7 ~ 9

4. Problem Set 2.7 10 ~ 12

5. Problem Set 2.7 13 ~ 15